ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА
ISSN 1561-9184 (друкована версія), ISSN 2616-6380 (електронна версія)

ГОЛОВНА    ПРО ЖУРНАЛ    РЕДКОЛЕГІЯ    АВТОРАМ    ПОТОЧНИЙ ВИПУСК    АРХІВ    КОНТАКТИ

УДК 539.3

Технічна механіка, 2023, 2, 105 - 120

СКОРОЧЕННЯ РОЗМІРНОСТІ НЕЛІНІЙНОЇ ДИНАМІЧНОЇ СИСТЕМИ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ БАГАТОСТІННОЇ НАНОТРУБКИ

DOI: https://doi.org/10.15407/itm2023.02.105

Аврамов К. В., Біблік І. В., Гребеннік I. В., Урняєва I. A.

Аврамов К. В.
Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України,
Україна

Біблік І. В.
Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного Національної академії наук України,
Україна

Гребеннік I. В.
Харківський національний університет радіоелектроніки,
Україна

Урняєва I. A.
Харківський національний університет радіоелектроніки,
Україна

      Виводиться система нелінійних рівнянь у частинних похідних, що описує коливання багатостінної вуглецевої нанотрубки. Ця система рівнянь зводиться до нелінійної динамічної системи з великою кількістю степенів вільності. Для зменшення розмірності цієї динамічної системи застосовується метод нелінійних нормальних форм, в результаті чого отримано динамічну систему з двома степенями вільності, яка досліджується асимптотичним методом багатьох масштабів. За допомогою метода багатьох масштабів отримано систему модуляційних рівнянь, нерухомі точки якої описують вільні коливання нанотрубки. Нерухомі точки описуються нелінійними алгебраїчними рівняннями. Рішення цих рівнянь наводяться на скелетній кривій. Використовується оболонкова модель Сандерса–Коїтера, яка описує геометрично нелінійне деформування нанотрубки, та нелокальний анізотропний закон Гука для моделювання коливань багатостінної нанотрубки. Підкреслимо, що пружні константи стінок нанотрубок різняться. Моделлю нанотрубки є система нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, яка отримується за допомогою використання метода зважених нев’язок до нелінійних рівнянь в частинних плохідних. У моделі коливань нанотрубки враховуються три види нелінійностей. По-перше, сили Ван дер Ваальса є нелінійними функціями радіальних переміщень. По-друге, переміщення стін нанотрубок передбачаються помірними, що описується геометрично нелінійною моделлю. По-третє, так як інтегральні силові фактори є нелінійними функціями переміщень, то при використанні природних граничних умов в узагальненому методі Гальоркіна (методі зважених нев'язок) виходять додаткові нелінійні доданки. Виводиться нелінійна динамічна система із скінченним числом степенів вільності. Досліджуються вільні нелінійні коливання нанотрубки. Результати розрахунку представляються на скелетній кривій.
     

скорочення розмірності динамічної системи, нанотрубка, нелокальний анізотропний закон Гука, нелінійна динамічна система зі скінченним числом степенів вільності, багатомодове інваріантне різноманіття

1. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon. Nature. 1991. Vol. 354. P. 56–58. https://doi.org/10.1038/354056a0

2. Avramov K. V., Chernobryvko M., Uspensky B., Seitkazenova K. K., Myrzaliyev D. Self-sustained vibrations of functionally graded carbon nanotubes reinforced composite cylindrical shell in supersonic flow. Nonl. Dyn. 2019. Vol. 98. P. 1853–1876. https://doi.org/10.1007/s11071-019-05292-z

3. Uspensky B., Avramov K., Nikonov O., Sahno N. Dynamic instability of functionally graded carbon nanotubes-reinforced composite joined conical-cylindrical shell in supersonic flow. Int. J. of Struct. Stab. and Dyn. 2022. Vol. 22. 2250039. https://doi.org/10.1142/S0219455422500390

4. Raii-Tabar H. Computational modelling of thermo-mechanical and transport properties of carbon nanotubes. Physics Reports. 2004. Vol. 390. P. 235–452. https://doi:10.1016/j.physrep.2003.10.012

5 Iijima S., Brabec C., Maiti A., Bernholc J. Structural flexibility of carbon nanotubes. J. Chem. Phys. 1996. Vol. 104. P. 2089–2092. https://doi.org/10.1063/1.470966

6. Yakobson B. I., Campbell M. P., Brabec C. J., Bernholc J. High strain rate fracture and C-chain unraveling in carbon nanotubes. Comput. Mater. Sci. 1997. Vol. 8. P. 241–248. https://doi.org/10.1016/S0927-0256(97)00047-5

7. Li R., Kardomateas G. A. Vibration characteristics of multiwalled carbon nanotubes embedded in elastic media by a nonlocal elastic shell model. ASME J. of Appl. Mech. 2007. Vol. 74. P. 1087–1094. https://doi.org/10.1115/1.2722305

8. Hu Y. G., Liew K. M., Wang Q., He X. Q., Yakobson B. I. Nonlocal shell model for elastic wave propagation in single- and double-walled carbon nanotubes. J. of the Mech. and Phys. of Sol. 2008. Vol. 56. P. 3475–3485. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2008.08.010

9. Chowdhury R., Wang C. Y., Adhikari S. Low frequency vibration of multiwall carbon nanotubes with heterogeneous boundaries. J. of Phys. D. 2010. Vol. 43. 085405. https://doi.org/10.1088/0022-3727/43/8/085405

10. He X. Q., Kitipornchai S., Wang C. M., Liew K. M. Modeling of van der Waals force for infinitesimal deformation of multi-walled carbon nanotubes treated as cylindrical shells. Int. J. of Sol. and Struc. 2005. Vol. 42. P. 6032–6047. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2005.03.045

11. Hoseinzadeh M. S., Khadem S. E. Thermo elastic vibration and damping analysis of double-walled carbon nanotubes based on shell theory. Phys. E. 2011. Vol. 43. P. 1146–1154. https://doi.org/10.1016/j.physe.2011.01.013

12. Asghar S., Naeem M. N., Hussain M. Non-local effect on the vibration analysis of double walled carbon nanotubes based on Donnell shell theory. Phys. E. 2020. Vol. 116. 113726. https://doi.org/10.1016/j.physe.2019.113726

13.Avramov K.V. Nonlinear vibrations characteristics of single-walled carbon nanotubes via nonlocal elasticity. International Journal of Nonlinear Mechanics. 2018. Vol. 117. P. 149–160. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2018.08.017

14. Fazelzadeh S. A., Ghavanloo E. Nonlocal anisotropic elastic shell model for vibrations of single-walled carbon nanotubes with arbitrary chirality. Composite Structures. 2012. Vol. 94. P. 1016–1022. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2011.10.014

15. Chang T. A molecular based anisotropic shell model for single-walled carbon nanotubes. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2010. Vol. 58. P. 1422–1433. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2010.05.004

16. He X. Q., Kitipornchai S., Wang C. M., Xiang Y., Zhou Q. A Nonlinear Van Der Waals Force Model for Multiwalled Carbon Nanotubes Modeled by a Nested System of Cylindrical Shells. ASME Journal of Applied Mechanics. 2010. Vol. 77 (6). 061006 https://doi.org/10.1115/1.4001859

17. Washizu K. Variational methods in elasticity and plasticity. 1968. 120 p. https://doi.org/10.1002/zamm.19690490535

18. Zienkiewicz O., Morgan K. Finite Elements and Approximation.1983. John Wiley & Sons, New York.

19. Pesheck E., Boivin N., Pierre C., Shaw S. W. Nonlinear modal analysis of structural systems using multi-mode invariant manifolds. Nonlinear Dynamics. 2001. Vol. 25. P. 183–205. https://doi.org/10.1007/978-94-017-2452-4_10

20. Nayfeh A. H., Mook D. T. Nonlinear oscillations. 1995. New York: Wiley. 720 p. https://doi.org/10.1002/9783527617586

21. Liew K. M., He X. Q., Wong C. H. On the study of elastic and plastic properties of multi-walled carbon nanotubes under axial tension using molecular dynamics simulation. Acta Materialia. 2004. Vol. 52 (9). P. 2521–2527. https://doi.org/10.1016/j.actamat.2004.01.043

Copyright (©) 2023 Аврамов К. В., Біблік І. В., Гребеннік I. В., Урняєва I. A.

Copyright © 2014-2023 Технічна механіка