ТЕМПЕРАТУРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ДУЖКИ ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОЇ СИСТЕМИ З МАЛОЮ ВЗАЄМОДІЄЮ
Ключові слова:
інтегральні дужки, поліноми Соніна, інтеграл зіткнень Ландау, однокомпонентна система, мала взаємодія.Анотація
DOI: https://doi.org/10.15407/itm2025.02.124
Задача опису гідродинамічного етапу еволюції системи та відповідного розрахунку кінетичних коефіцієнтів системи є актуальною для статистичної фізики. Метод Чепмена–Енскога широко застосовується до відповідної задачі для різних систем, а поліноми Соніна широко використовуються для розрахунку наближених розв'язків для функції розподілу системи. Стандартна гідродинамічна теорія призводить до інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду, для яких розв'язки, засновані на поліномах Соніна, вважаються збіжними. Слід зауважити, що часто аналітичні розрахунки обмежуються наближеннями одного або двох поліномів через громіздкість таких розрахунків та той факт, що збіжність розв'язків зі збільшенням кількості поліномів вважається досить швидкою.
Однак, числове дослідження відповідної збіжності представляє інтерес. Наприклад, числове дослідження відповідної збіжності для простого газу та газу твердих сфер для наближень навіть до 150 поліномів було проведено С. К. Лоялкою, Р. В. Томпсоном та Е. Л. Тіптоном на основі кінетичного рівняння Больцмана. Однак, нам невідомі роботи, де такі дослідження проводяться для систем, що описуються кінетичним рівнянням Ландау.
Як відомо, так звані системи з малою взаємодією описуються кінетичним рівнянням Ландау, яке містить інтеграл зіткнень Ландау. Наприклад, системи з кулонівською взаємодією описуються таким математичним апаратом. Зокрема, деякі попередні дослідження були присвячені повністю іонізованій двокомпонентній плазмі, і в більшості випадків використовувалися наближення одного або двох поліномів. У цій статті ми досліджуємо відповідні інтегральні дужки для однокомпонентної системи з малою взаємодією, але обчислено інтегральні дужки до наближення тринадцяти поліномів включно. В цій статті ми обмежуємося лише інтегральними дужками, необхідними для розрахунку температурної частини функції розподілу першого порядку по градієнтах. Отримано точні аналітичні результати для розглянутих інтегральних дужок. Отримані результати є важливими для подальшого числового дослідження збіжності результатів для теплопровідності системи зі збільшенням кількості поліномів у відповідних наближеннях. Дужки, необхідні для розрахунку швидкісної частини функції розподілу, можуть бути представлені в іншій статті.
ПОСИЛАННЯ
1. Akhiezer A.I., Peletminsky S.V. Methods of Statistical Physics. Oxford: Pergamon Press, 1981. 376 pp.
2. Gorev V. N., Sokolovsky A. I. One-velocity and one-temperature hydrodynamics of plasma. Visnyk Dnipropetrovskogo Universytetu. Fizyka Radioelectronika. 2013. V. 21. No. 2. Рp. 39–46.
3. Ji J.-Y., Held E. D. Analytical solution of the kinetic equation for a uniform plasma in a magnetic field. Physical Review E. 2010. V. 82. 016401. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.82.016401
4. Tang J., Chow W., Shizgal B. Nonequilibrium effects for reactions with activation energy: Convergence of the expansions of solutions of the Boltzmann and Lorentz Fokker Planck equations with Sonine and Maxwell polynomials as basis functions. Physica A. 2025. 668. 130522. https://doi.org/10.1016/j.physa.2025.130522
5. Loyalka S. K., Tipton E. L., Tompson R. V. Chapman–Enskog solutions to arbitrary order in Sonine polynomials I: Simple, rigid-sphere gas. Physica A. 2007. 379. Pp. 417–435. https://doi.org/10.1016/j.physa.2006.12.001
6. Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Table of Integrals, Series, and Products. Eighth Edition, D. Zwillinger and V. Moll (Eds).. Elsevier Academic Press. 2015. 1184 Pp.
7. Adegoke K. A Short Proof of Knuth's Old Sum. 2024. arXiv:2412.00040 [math.GM]. https://doi.org/10.48550/arXiv.2412.00040
