ПАРАДОКС ЦИГЛЕРА В ЗАДАЧАХ СТІЙКОСТІ В’ЯЗКОПРУЖНИХ СИСТЕМ
Ключові слова:
модель Кельвіна–Фойгта, критична сила, критичне навантаження, коефіцієнт в’язкості, стійкість, балочні функції, матриця Гурвіца, критерій Раусса–Гурвіца.Анотація
DOI: https://doi.org/10.15407/itm2025.01.103
Робота присвячена дослідженню стійкості руху в’язкопружного стрижня, матеріал якого підпорядкований закону Кельвіна–Фойгта. Наводяться розв’язки двох задач щодо визначення стійкості прямолінійної форми тонкого однорідного стрижня. В задачі I стрижень защемлений одним кінцем. До іншого прикладена сила, що стежить, яка має властивість, що при вигині стрижня завжди напрямлена по дотичній до лінії стрижня. Така сила може бути реалізованою, наприклад, шляхом встановлення на кінці стрижня порохового ракетного двигуна. В задачі II стрижень здійснює рівноприскорений рух під дією сили, що стежить. Дану задачу можна розглядати як спрощену модель ракети, яка рухається під дією реактивної сили.
В математичному сенсі задача зводиться до розгляду диференціального рівняння в частинних похідних п’ятого порядку із заданими граничними умовами на кінцях стрижня. Розв’язок задачі представлено у вигляді ряду за балочними функціями. Для визначення критичного навантаження застосовано критерій Раусса–Гурвіца. Наводиться обґрунтування кількості доданків даного розкладу. Отримано залежність величини критичного навантаження від коефіцієнта внутрішньої в’язкості. Підтверджено парадокс дестабілізації: існування будь-якого нескінченно малого коефіцієнта в’язкості суттєво знижує значення критичного навантаження у порівнянні з пружною моделлю. Наводиться залежність критичної сили від значення коефіцієнта внутрішньої в’язкості.
Для підтвердження отриманих аналітичних результатів наводиться чисельний розв’язок відповідної задачі Коші методом Рунге–Кутта 8 порядку. Відповідність чисельних та аналітичних результатів свідчать про вірогідність останніх.
Практичне застосування досліджень у галузі стійкості руху в'язкопружних стрижнів є надзвичайно широким, оскільки в'язкопружні стрижні – базовий елемент різноманітних інженерних конструкцій. Визначення критичного навантаження дозволяє забезпечити надійність та ефективність конструкції.
ПОСИЛАННЯ
1. Bolotin V. V., Zhinzher N. I. Effects of damping on elastic system subjected to nonconservative forces. Int. J. Solids and Struct. 1969. No. 9. Рp. 965-989.
https://doi.org/10.1016/0020-7683(69)90082-1
2. Beck M. Die Knicklast des einseiting eingespannten tangential gedruckten Stabes. Z. Angew. Math. Und Phys. 1952. V. 3. No. 3. Рp. 225-228.
https://doi.org/10.1007/BF02008828
3. Pfluger A. Zur Stabilitat des tangential gedruckten Stabes. Z. Angew. Math. und Mech. 1955. 35, No. 5. 191 рp.
https://doi.org/10.1002/zamm.19550350506
4. Baikov A. E., Krasil'nikov P. S. The Zigler effect in non-conservative mechanical system. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2010. V. 74. No. 1. Pp. 51-60.
https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2010.03.005
5. Luongo A., Ferretti M., D'Annibale F. Paradoxes in dynamic stability of mechanical systems: investigating the causes and detecting the nonlinear behaviors. Springerplus. 2016.
https://doi.org/10.1186/s40064-016-1684-9
6. Bolotin V. V. Nonconservative problems of the theory of elastic stability. The Journal of the Royal Aeronautical Society. 1964. V. 68. Iss. 642. Pp. 423 - 424.
https://doi.org/10.1017/S0368393100079682
7. Zhuravkov M., Lyu Y., Starovoitov E. Mechanics of Solid Deformable Body. Singapore: Springer Nature, 2023. 308 pp.
https://doi.org/10.1007/978-981-19-8410-5
8. Kostyushko I., Shapovalov H. Study of motion stability of a viscoelastic rod. Mech. Adv. Technol. 2024. V. 8. No. 1. Pp. 80-86.
https://doi.org/10.20535/2521-1943.2024.8.1(100).297514
