ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА
ISSN 1561-9184 (друкована версія), ISSN 2616-6380 (електронна версія)

ГОЛОВНА    ПРО ЖУРНАЛ    РЕДКОЛЕГІЯ    АВТОРАМ    ПОТОЧНИЙ ВИПУСК    АРХІВ    КОНТАКТИ

УДК 629.78

Технічна механіка, 2022, 1, 26- 35

ВЕРИФІКАЦІЯ АНАЛІТИЧНИХ ФОРМ ПЕРВІСНИХ В ЗАДАЧАХ МЕХАНІКИ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ КОРЕЛЯЦІЙНОГО АНАЛІЗУ

DOI: https://doi.org/10.15407/itm2022.01.026

Алпатов А. П., Кравець Вік. В., Кравець Вол. В., Лапханов Е. О.

Алпатов А. П.
Інститут технічної механіки Національної академії наук України і Державного космічного агентства України,
Україна

Кравець Вік. В.
Дніпровський державний аграрно-економічний університет, кафедра механіки,
Україна

Кравець Вол. В.
Дніпровський державний аграрно-економічний університет, кафедра механіки,
Україна

Лапханов Е. О.
Інститут технічної механіки Національної академії наук України і Державного космічного агентства України,
Україна

      Аналітичний пошук первісних функцій (невизначених інтегралів) широко використовується в математичному моделюванні різноманітних технічних, економічних, екологічних, біологічних, соціальних та інших процесів. У свою чергу, в задачах механіки є значний клас підзадач, при розв’язанні яких використовуються аналітичні методи інтегрування. До цих задач також відноситься проблема розробки аналітичних моделей навігаційно-балістичного забезпечення та моделей теорії керування в галузі ракетно-космічної техніки. Перевагою цього підходу в математичному моделюванні є можливість швидкого аналізу стану динамічних систем на різних часових інтервалах без розрахунків всіх попередніх станів.
      У свою чергу, для деяких класів функцій існує кілька різних варіантів пошуку первісних, у результаті чого існує кілька різних форм первісних, які важко перевірити класичним способом у стандартній формі. В основному це пов'язано з вибором різноманітних комбінацій методів інтегрування, які використовуються при розробці аналітичних моделей, зокрема в задачах прикладної механіки.
      Враховуючи зазначені складнощі верифікації множини первісних функції, у роботі пропонується метод, заснований на використанні кореляційного аналізу для перевірки відповідності їх аналітичних форм. При цьому масиви значень кожної первісної форми функції у певних вузлових точках пропонується представити у вигляді набору випадкових величин. З огляду на це, процес верифікації пропонується провести за допомогою стандартного підходу, заснованого на кореляційному аналізі (із застосуванням коефіцієнту кореляції Пірсона). Ефективність методу показана на прикладі перевірки первісних раціональної функції з квадратним тричленом, який піднесено до квадрату, в знаменнику. Такий підхід дасть змогу перевірити адекватність знаходження i-го варіанту первісної функції множині наявних первісних цієї функції та адаптувати задачу до стандартного вигляду.
     

первісна, метод верифікації, кореляційний аналіз, аналітична модель, механіка, інтегрування

1. Teschl G. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society (AMS), 2012. 353 p. URL: https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf (date of access 12.02.2022). https://doi.org/10.1090/gsm/140

2. Perko L. Differential equations and dynamical systems, 3rd. ed. Springer-Verlag, New York. Inc., 2001. 555 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0003-8

3. Chern I. L. Mathematical modeling and ordinary differential equations. Department of Mathematics National Taiwan University. 2016. 216 p. URL: http://www.math.ntu.edu.tw/~chern/notes/ode2015.pdf (date of access 12.02.2022).

4. Tirelli M. Linear Difference Equations. 2014. URL: http://econdse.org/wp-content/uploads/2016/04/linear_difference_eq-LectureNotes-Tirelli.pdf (date of access 12.02.2022).

5. Neusser K. Difference Equations for Economists, preliminary and incomplete. 2021. 199 p. URL: http://www.neusser.ch/downloads/DifferenceEquations.pdf (date of access 12.02.2022). https://doi.org/10.3390/app12073604

6. Hegde U. S., Uma S., Aravind P. N., Malashri S. Fourier Transforms and its Applications in Engineering Field. International Journal of Innovative Research in Science, Engineering and Technology. 2017. Vol. 6, Iss. 6. P. 10294–10298. URL: https://doi.org/10.15680/IJIRSET.2017.0606024

7. Serov V. Fourier series, Fourier transform and their applications to mathematical physics. Springer International Publishing AG 2017. 2017. 534 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-65262-7

8. Keisler H. J. Foundations of infinitesimal calculus. Department of Mathematics University of Wisconsin, Madison, Wisconsin, USA, 2011. 203 p. URL: https://people.math.wisc.edu/~keisler/foundations.pdf (date of access 12.02.2022).

9. Alpatov A. P. Spacecraft dynamics. NPP Publishing House "Naukova Dymka", 2016. 488 p [in Russian].

10. Cohen H. Complex analysis with applications in science and engineering. Springer-Verlag US 2007, 2007. 477 p. URL: https://doi.org/10.1007/978-0-387-73058-5

11. Magnus R. Fundamental mathematical analysis. Springer Undergraduate Mathematics Series, 2020. 433 p. https://doi.org/10.1007/978-3-030-46321-2

12. Myshkis A. D. Lectures on higher mathematics. 5th ed., revised. and additional, St. Petersburg: Publishing house "Lan", 2007. 688 p. [in Russian]

13. Sergeeva Yu. R., Tuchin D. A. Algorithm for determining the analytical model parameters of the navigation satellites motion. IPM preprints im. M.V. Keldysh. 2016. No. 109. 16 p. https:/doi.org/10.20948/prepr-2016-109

URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2016-109 [In Russian] 14. Bordovitsyna T. V., Avdyushev V. A. Theory of Earth's artificial satellites motion. Analytical and numerical methods: Proc. allowance. Tomsk: Publishing House Tomsk Univers., 2007. 178 p. [In Russian]

15.Curtis H. Orbital Mechanics for Engineering Students (4th Edition). Butterworth-Heinemann. 2019. 692 p.

16. Fortescue P., Stark J., Swinerd G. Spacecraft systems engineering. John Wiley & Sons Ltd. Chichester, 2011. 724 p. https://doi.org/10.1002/9781119971009

17. Keisler H. J. Elementary calculus. An Infinitesimal Approach. Creative Commons, Stanford, California Second Edition. 2000. 982 p.

18. Kat C.-J., Els P. S. Validation metric based on relative error. Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems. 2012. Vol. 18, No. 5. P. 487–520. https://doi.org/10.1080/13873954.2012.663392

19. Chen C, Twycross J, Garibaldi J. M. A new accuracy measure based on bounded relative error for time series forecasting. PLoS ONE. 2017. No. 3. P. 1–23. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174202

20. Evans M. J., Rosenthal J. S. Probability and Statistics: The Science of Uncertainty. W. H. Freeman; Second edition. 2009. 638 p.

21. Soong T. T. Fundamentals of probability and statistics for engineers. John Wiley & Sons Ltd. 2004. 391 p.

Copyright (©) 2022 Алпатов А. П., Кравець Вік. В., Кравець Вол. В., Лапханов Е. О.

Copyright © 2014-2022 Технічна механіка