ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА
ISSN 1561-9184 (друкована версія), ISSN 2616-6380 (електронна версія)

ГОЛОВНА    ПРО ЖУРНАЛ    РЕДКОЛЕГІЯ    АВТОРАМ    ПОТОЧНИЙ ВИПУСК    АРХІВ    КОНТАКТИ

УДК 519.2

Технічна механіка, 2024, 2, 76- 91

СПОСОБИ ПОБУДОВИ РОЗПОДІЛУ МАКСИМАЛЬНОЇ ВІДСТАНІ МІЖ ВИПАДКОВИМИ НОРМАЛЬНИМИ ТОЧКАМИ НА ПЛОЩИНІ

DOI: https://doi.org/10.15407/itm2024.02.076

Гладкий Е. Г., Перлик В. І.

Гладкий Е. Г.
Державне підприємство «Конструкторське бюро «Південне» ім. М. К. Янгеля»,
Україна

Перлик В. І.
Державне підприємство «Конструкторське бюро «Південне» ім. М. К. Янгеля»,
Україна

      У багатьох практичних задачах виникає потреба у побудові розподілу максимальної відстані між випадковими точками на площині. У літературі, зазвичай, розглядається випадок великої кількості таких точок, для якого визначається асимптотичний розподіл. В статті розглянуто задачу побудови розподілу максимальної відстані між незначною кількістю випадкових нормальних точок на площині, у яких координати є незалежними випадковими величинами, що підпорядковуються стандартному нормальному розподілу. Як базовий, розглянуто окремий випадок трьох випадкових нормальних точок на площині. Для нього досліджено три напрямки побудови розподілу максимальної відстані між точками.
      Згідно із першим, функція розподілу будується, виходячи з геометричних міркувань. Для цього розглянуто геометричні місця розташування трьох точок, виходячи із умови, щоб максимальна відстань між ними не перевищила певної величини. Місцезнаходження третьої точки на площині визначається відносно двох інших – самої лівої точки та самої нижньої. Побудова функції розподілу в цьому випадку передбачає послідовне розв’язання кількох інтегралів, для чого використовуються чисельні методи. Отримані результати мають гарний збіг із результатами статистичного моделювання.
      Дослідження відстаней між парами випадкових нормальних точок на площині складає основу другого напрямку. Окремо відстані між кожною парою випадкових нормальних точок підпорядковуються одновимірним розподілам Релея, проте у сукупності такі випадкові величини виявляються корельованими, адже визначаються через одні і ті ж координати точок. Побудовано спільний розподіл для квадратів відстаней між трьома точками, для чого використано тривимірний розподіл Морана–Даунтона. З його допомогою отримано функцію розподілу квадрату максимальної відстані між трьома випадковими нормальними точками, що тотожна розподілу максимальної відстані. З’ясовано, що в області невеликих значень вона недооцінює реальну імовірність того, що максимальна відстань не перевищить певну величину. Для великих значень відстаней зазначені імовірності збігаються.
      В межах третього напрямку розглянуто використання розподілу Райса (узагальнення розподілу Релея) для апроксимації невідомого розподілу максимальної відстані між трьома випадковими нормальними точками на площині. Визначено параметри розподілу Райса, виходячи із методу найменших квадратів, і отримано непогану збіжність із результатами статистичного моделювання.
      Результати, які отримано для трьох випадкових нормальних точок, узагальнено на випадок більшої (до n = 30) кількості точок. Показано, що третій напрямок у цьому випадку є найбільш ефективним.
     

випадкові точки на площині, максимальна відстань між точками, функція розподілу, розподіл Морана–Даунтона, розподіл Райса

1. Губарев В. В. Таблицы характеристик случайных величин и векторов. Новосибирск: Изд-во НЭТИ, 1980. 225 с. Деп. в ВИНИТИ №3146–81.

2. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М.: Мир, 1965. 452 с.

3. Дэйвид Г. Порядковые статистики. М.: Наука, 1979. 336 с.

4. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: ГИИЛ, 1975. 648 с.

5. Appel M. J. B., Najim C. A., Russo R. P. Limit laws for the diameter of a random point set. Adv. in Appl. Probab. 2002. Vol. 34. Рp. 1–10. https://doi.org/10.1017/S0001867800011356

6. Joarder A. H., Omar M., Gupta A. K. The distribution of a Linear Combination of Two Correlated Chi-Square Variables. Vol. 36. No. 2. Рp. 211–221.

7. Jonson N. L., Kotz S., Balakrishnan N. Continuous Univariate Distributions. Vol. 1. N.Y.e.a. John Wiley and Sons, 2000. 756 p.

8. Kotz S., Balakrishnan N., Johnson N. L. Continuous Multivariate Distributions. Vol. 1: Models and Applications. N.Y.e.a. John Wiley and Sons, 2000. 722 p. https://doi.org/10.1002/0471722065

9. Matthews P. C., Rukhin A. L. Asymptotic distribution of the normal sample range. Ann. Appl. Probab. 1993. Vol. 3. Рp. 454–466. https://doi.org/10.1214/aoap/1177005433

Copyright (©) 2024 Гладкий Е. Г., Перлик В. І.

Copyright © 2014-2024 Технічна механіка