АНАЛІЗ АНТИПЛОСКОЇ ДЕФОРМАЦІЇ КВАЗІКРИСТАЛА З ТРІЩИНОЮ З УРАХУВАННЯМ ПОВЕРХНЕВИХ ЕФЕКТІВ

Анотація

DOI: https://doi.org/10.15407/itm2026.01.062

Досліджено антиплоску зсувну деформацію (Mode III) лінійного гексагонального квазікристала з ізольованою тріщиною за умов дії віддалених рівномірних навантажень з урахуванням фононно-фазонного зв’язку та поверхневих ефектів у межах моделі поверхневої пружності Гуртина–Мердока. Береги тріщини змодельовано як пружні мембрани з власними поверхневими фононними, фазонними та зв’язуючими константами, що дозволяє адекватно описати розмірні ефекти на нано- та субмікронному масштабах.

На основі рівнянь теорії пружності квазікристалів з урахуванням фононного та фазонного полів побудовано математичну модель задачі. Граничні умови на берегах тріщини, модифіковані поверхневою енергією, приводять до системи сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь з ядром типу Коші. Для їх розв’язання застосовано метод колокацій із використанням поліномів Чебишева, що забезпечує високу точність та добру збіжність чисельної процедури.

Проведений чисельний аналіз для одновимірного гексагонального квазікристала показав, що врахування поверхневої пружності істотно змінює характер напружено-деформованого стану поблизу вершини тріщини. На відміну від класичної механіки руйнування, де реалізується коренева сингулярність напружень, у запропонованій моделі напруження та деформації залишаються скінченними. Поверхнева пружність відіграє роль регуляризуючого механізму, який «згладжує» сингулярність та формує розмірну залежність розв’язку.

Показано, що зі збільшенням довжини тріщини зростають значення напружень у її вершині та в близькому околі, тоді як нормоване розкриття берегів змінюється несуттєво. Для малих тріщин поверхневі ефекти є домінуючими, а зі збільшенням розміру дефекту поведінка поступово наближається до класичної, проте повністю з нею не збігається.

Результати можуть бути використані для оцінювання міцності та тріщиностійкості квазікристалічних матеріалів із урахуванням нанорозмірних ефектів. Отримані результати є важливими для розвитку сучасної технічної механіки, зокрема механіки руйнування та механіки наноструктурованих матеріалів, оскільки вони розширюють класичні підходи з урахуванням поверхневих і розмірних ефектів та сприяють підвищенню достовірності прогнозування міцності елементів конструкцій.

ПОСИЛАННЯ

1. Gurtin M. E., Murdoch A. A continuum theory of elastic material surfaces. Arch. Ration. Mech. Anal. 1975. V. 57. P. 291–323. https://doi.org/10.1007/BF00261375

2. Kim C. I., Schiavone P., Ru C. Q. The effects of surface elasticity on an elastic solid with mode-III crack: complete solution. ASME J. Appl. Mech. 2010. V. 77. 021011. https://doi.org/10.1115/1.3177000

3. Wang X., Zhou K. A crack with surface effects in a piezoelectric material. Math. Mech. Solids. 2015. V. 20. P. 1131–1146.

4. Gurtin M. E., Weissmuller J., Larche F. A general theory of curved deformable interface in solids at equilibrium. Philos. Mag. A. 1998. V. 78. P. 1093–1109. https://doi.org/10.1080/014186198253138

5. Ru C. Q. Simple geometrical explanation of Gurtin-Murdoch model of surface elasticity with clarification of its related versions. Sci. China. 2010. V. 53. P. 536–544. https://doi.org/10.1007/s11433-010-0144-8

6. Chen T. Exact size-dependent connections between effective moduli of fibrous piezoelectric nanocomposites with interface effects. Acta Mechanica. 2008. V. 196 (3-4). P. 205–217. https://doi.org/10.1007/s00707-007-0477-1

7. Huang G. Y., Yu S. W. Effect of surface piezoelectricity on the electromechanical behaviour of a piezoelectric ring. Phys. Stat. Solidi B. 2006. V. 243. P. R22–R24. https://doi.org/10.1002/pssb.200541521

8. Dai S., Gharbi M., Sharma P., Park H. S. Surface piezoelectricity: size effects in nanostructures and the emergence of piezoelectricity in non-piezoelectric materials. J. Appl. Phys. 2011. V. 110. 104305. https://doi.org/10.1063/1.3660431

9. Pan X., Yu S., Feng X. A continuum theory of surface piezoelectricity for nanodielectrics. Sci. China. 2011. V. 54. P. 564–573. https://doi.org/10.1007/s11433-011-4275-3

10. Fan T. Y. Mathematical Theory of Elasticity of Quasicrystals and Its Applications. Beijing : Science Press, 2011. 363 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-14643-5

11. Zhao X. F., Ma Y. Y., Lu S. N. Anti-plane problem of nano-cracks emanating from a regular triangular nano-hole in one dimensional hexagonal quasicrystals. Science Technology and Engineering. 2023. V. 23 (7). P. 2727–2733.

12. Xin Y. Y., Xiao J. H. Fracture mechanics of an arbitrary position crack emanating from a nano-hole in one-dimensional hexagonal piezoelectric quasicrystals. Acta Mechanica. 2023. V. 234 (4). P. 1409–1420. https://doi.org/10.1007/s00707-022-03424-y

13. Xin Y. Y., Xiao J. H. An analytic solution of an arbitrary location through-crack emanating from a nano-circular hole in one-dimensional hexagonal piezoelectric quasicrystals. Mathematics and Mechanics of Solids. 2024. V. 29 (1). P. 71–82. https://doi.org/10.1177/10812865231186341

14. Chakrabarti A. Hamsapriye. Numerical solution of a singular integro-differential equation. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1999. V. 79, No. 4. P. 233–241. https://doi.org/10.1002/(SICI)1521-4001(199904)79:4<233::AID-ZAMM233>3.3.CO;2-Y